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BSEB Class 10 Math Chapter 2 Notes in Hindi — बहुपद (Polynomials) Solutions

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BSEB Class 10 Math Chapter 2 बहुपद (Polynomials) Bihar Board कक्षा 10 गणित का दूसरा महत्वपूर्ण अध्याय है। इस अध्याय में बहुपद की परिभाषा, शून्यक, गुणनखंडन, और विभाजन एल्गोरिथ्म को विस्तार से समझाया गया है। यहाँ BSEB परीक्षा 2026-27 के लिए पूरे अध्याय के हल हिंदी में दिए गए हैं।

बहुपद क्या है? (Definition of Polynomial)

एक चर x में बहुपद, x की विभिन्न घातों वाले पदों का एक व्यंजक है जहाँ घातांक पूर्ण संख्या होती है। सामान्य रूप: p(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀ (जहाँ aₙ ≠ 0)

बहुपद के प्रकार (घात के आधार पर)

  • रैखिक बहुपद (Linear): घात 1 — उदाहरण: 2x + 3
  • द्विघात बहुपद (Quadratic): घात 2 — उदाहरण: x² + 5x + 6
  • त्रिघात बहुपद (Cubic): घात 3 — उदाहरण: x³ – 2x² + x – 1

बहुपद के शून्यक (Zeroes of a Polynomial)

वह मान जिसके लिए बहुपद p(x) का मान शून्य हो जाए, उसे बहुपद का शून्यक कहते हैं। ज्यामितीय रूप से, शून्यक वे बिंदु हैं जहाँ बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को काटता है।

महत्वपूर्ण बिंदु:

  • रैखिक बहुपद का अधिकतम 1 शून्यक होता है
  • द्विघात बहुपद के अधिकतम 2 शून्यक होते हैं
  • त्रिघात बहुपद के अधिकतम 3 शून्यक होते हैं

शून्यकों और गुणांकों में संबंध

द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यक α और β हों, तो:

  • शून्यकों का योग: α + β = -b/a
  • शून्यकों का गुणनफल: α × β = c/a

त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d के शून्यक α, β, γ हों, तो:

  • α + β + γ = -b/a
  • αβ + βγ + γα = c/a
  • α × β × γ = -d/a

हल किए गए उदाहरण (Solved Examples)

उदाहरण 1: शून्यक ज्ञात करें — p(x) = x² – 5x + 6

हल: x² – 5x + 6 = 0
x² – 3x – 2x + 6 = 0
x(x – 3) – 2(x – 3) = 0
(x – 2)(x – 3) = 0
x = 2 या x = 3
शून्यक: 2 और 3

सत्यापन: शून्यकों का योग = 2 + 3 = 5 = -(-5)/1 = -b/a ✓
शून्यकों का गुणनफल = 2 × 3 = 6 = 6/1 = c/a ✓

उदाहरण 2: शून्यक ज्ञात करें — p(x) = 2x² + 7x + 3

हल: 2x² + 7x + 3 = 0
2x² + 6x + x + 3 = 0
2x(x + 3) + 1(x + 3) = 0
(2x + 1)(x + 3) = 0
x = -1/2 या x = -3
शून्यक: -1/2 और -3

बहुपदों का विभाजन एल्गोरिथ्म

यदि p(x) और g(x) कोई दो बहुपद हैं जहाँ g(x) ≠ 0, तो बहुपद q(x) और r(x) इस प्रकार होंगे कि: p(x) = g(x) × q(x) + r(x) जहाँ r(x) = 0 या r(x) की घात < g(x) की घात। यही विभाजन एल्गोरिथ्म है।

परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण प्रश्न

  1. बहुपद x² – 3x – 10 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध सत्यापित कीजिए।
  2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग 4 और गुणनफल 3 हो।
  3. विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3 को g(x) = x² – 2 से भाग दीजिए।
  4. ग्राफ की सहायता से बहुपद x² – 4x + 3 के शून्यक ज्ञात कीजिए।

FAQ — अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

Q1. बहुपद की घात क्या होती है?

बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात को बहुपद की घात कहते हैं। जैसे 3x⁴ + 2x² + 1 की घात 4 है।

Q2. शून्यक और मूल में क्या अंतर है?

बहुपद p(x) के संदर्भ में ‘शून्यक’ और समीकरण p(x) = 0 के संदर्भ में ‘मूल’ कहा जाता है — दोनों का अर्थ समान है।

Q3. क्या हर बहुपद के शून्यक होते हैं?

शून्येतर अचर बहुपद (जैसे p(x) = 5) का कोई शून्यक नहीं होता क्योंकि इसका ग्राफ x-अक्ष को नहीं काटता।

Q4. द्विघात बहुपद से शून्यक कैसे निकालें?

गुणनखंड विधि (Factorization) या श्रीधराचार्य सूत्र x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a का उपयोग करके शून्यक निकाले जा सकते हैं।

Q5. विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग कहाँ होता है?

विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग बहुपद के शेष शून्यक ज्ञात करने और बहुपदों के HCF निकालने में किया जाता है।

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BSEB Class 10 Math Chapter 1 Real Numbers — Full Solutions Hindi

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BSEB Class 10 Math Chapter 1 — वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) के full NCERT solutions, short concept notes, और important formulas इस post में मिलेगा। Bihar Board + NCERT दोनों pattern के लिए suitable। Chapter में मुख्य topics: Euclid’s Division Lemma, Fundamental Theorem of Arithmetic, Irrational Numbers, और Decimal Expansions।

Real Numbers क्या हैं? (Direct Answer)

वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) वे संख्याएँ हैं जिनमें सभी rational (परिमेय) और irrational (अपरिमेय) संख्याएँ शामिल होती हैं। Natural numbers (1, 2, 3…), Whole numbers (0, 1, 2…), Integers (-2, -1, 0, 1, 2…), Rational (½, ¾, 0.75), Irrational (√2, π, e) — सब real numbers हैं। Imaginary numbers (जैसे √-1) real नहीं हैं।

Key Concepts — Chapter 1 Real Numbers

1. Euclid’s Division Lemma (यूक्लिड का विभाजन प्रमेयिका)

Statement: अगर a और b कोई दो धनात्मक पूर्णांक हैं, तो unique integers q और r exist करते हैं ऐसे कि:

a = bq + r, जहाँ 0 ≤ r < b

यहाँ q = quotient (भागफल), r = remainder (शेषफल)। जब r = 0, तो b पूरी तरह से a को divide करता है।

2. Euclid’s Division Algorithm (HCF निकालने की विधि)

दो positive integers के HCF (H.C.F. / LCD) निकालने का algorithm:

  1. Division lemma apply करें: a = bq + r (a > b)
  2. अगर r = 0, तो HCF = b
  3. अगर r ≠ 0, तो b और r पर lemma apply करें
  4. इसी तरह repeat तब तक जब तक r = 0 न हो जाए
  5. Last non-zero remainder ही HCF है

Example: HCF of 867 and 255
867 = 255 × 3 + 102
255 = 102 × 2 + 51
102 = 51 × 2 + 0
∴ HCF = 51

3. Fundamental Theorem of Arithmetic (अंकगणित का आधारभूत प्रमेय)

Statement: हर composite number को prime numbers के product के रूप में unique way में express किया जा सकता है (order के अलावा)।

Use: HCF और LCM निकालने के लिए prime factorization method।

Example: 6 = 2 × 3, 20 = 2² × 5
HCF(6, 20) = 2¹ = 2
LCM(6, 20) = 2² × 3 × 5 = 60
Check: HCF × LCM = 2 × 60 = 120 = 6 × 20 ✓

4. Irrational Numbers (अपरिमेय संख्याएँ)

जो संख्या p/q (where p, q integers और q ≠ 0) के form में express नहीं हो सकती। जैसे √2, √3, √5, π।

Proof by Contradiction — √2 is Irrational: मान लो √2 rational है, तो √2 = p/q (जहाँ p, q coprime)। Square करने पर 2q² = p²। तो p² even है, यानी p even है। Let p = 2m। तब 2q² = 4m², यानी q² = 2m², तो q² even, q भी even। But तब p और q दोनों में 2 common factor — coprime मान के against. Contradiction। ∴ √2 irrational।

5. Decimal Expansion of Rational Numbers

  • Terminating decimal (सांत दशमलव): अगर denominator q का prime factorization सिर्फ 2 और/या 5 हो, जैसे 3/8 = 0.375
  • Non-terminating recurring (अनवसायी आवर्ती): अगर denominator में 2, 5 के अलावा prime factor हो, जैसे 1/3 = 0.333…

Chapter 1 NCERT Exercises — Solutions Summary

Exercise Topic Questions
1.1 Euclid’s Division Algorithm 5 questions (HCF निकालना)
1.2 Fundamental Theorem of Arithmetic 7 questions (Prime factorization, HCF, LCM)
1.3 Irrational Numbers 3 questions (proof)
1.4 Decimal Expansions 3 questions (terminating vs recurring)

Important Exam Questions (BSEB Class 10 Math Ch 1)

  • Prove that √3 is irrational (often-repeated)
  • Find HCF और LCM of 96 and 404 using prime factorization
  • Express 429 as product of prime factors
  • Is 7 × 11 × 13 + 13 a composite number? Justify
  • Without actual division, state if 13/3125 will have terminating or non-terminating decimal

Frequently Asked Questions

Q1. Real Numbers और Rational Numbers में क्या अंतर है?

Real numbers में rational + irrational दोनों शामिल हैं। Rational वो हैं जो p/q form में लिख सकते हैं। Irrational वो जो नहीं लिख सकते (जैसे √2, π)। सभी rational, real हैं — पर सभी real, rational नहीं।

Q2. HCF × LCM formula क्या है?

दो numbers a और b के लिए: HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b। यह formula सिर्फ 2 numbers के लिए valid है — 3 या ज्यादा के लिए direct applicable नहीं।

Q3. Chapter 1 से board exam में कितने marks के question आते हैं?

BSEB Class 10 Math में Chapter 1 से generally 6-8 marks के question आते हैं — 1 objective (1 mark), 1 short answer (2-3 marks), और 1 long answer / proof (3-5 marks)।

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