BSEB Class 10 Math Chapter 1 Real Numbers — Full Solutions Hindi

BSEB Class 10 Math Chapter 1 — वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) के full NCERT solutions, short concept notes, और important formulas इस post में मिलेगा। Bihar Board + NCERT दोनों pattern के लिए suitable। Chapter में मुख्य topics: Euclid’s Division Lemma, Fundamental Theorem of Arithmetic, Irrational Numbers, और Decimal Expansions।

Real Numbers क्या हैं? (Direct Answer)

वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) वे संख्याएँ हैं जिनमें सभी rational (परिमेय) और irrational (अपरिमेय) संख्याएँ शामिल होती हैं। Natural numbers (1, 2, 3…), Whole numbers (0, 1, 2…), Integers (-2, -1, 0, 1, 2…), Rational (½, ¾, 0.75), Irrational (√2, π, e) — सब real numbers हैं। Imaginary numbers (जैसे √-1) real नहीं हैं।

Key Concepts — Chapter 1 Real Numbers

1. Euclid’s Division Lemma (यूक्लिड का विभाजन प्रमेयिका)

Statement: अगर a और b कोई दो धनात्मक पूर्णांक हैं, तो unique integers q और r exist करते हैं ऐसे कि:

a = bq + r, जहाँ 0 ≤ r < b

यहाँ q = quotient (भागफल), r = remainder (शेषफल)। जब r = 0, तो b पूरी तरह से a को divide करता है।

2. Euclid’s Division Algorithm (HCF निकालने की विधि)

दो positive integers के HCF (H.C.F. / LCD) निकालने का algorithm:

Division lemma apply करें: a = bq + r (a > b)
अगर r = 0, तो HCF = b
अगर r ≠ 0, तो b और r पर lemma apply करें
इसी तरह repeat तब तक जब तक r = 0 न हो जाए
Last non-zero remainder ही HCF है

Example: HCF of 867 and 255
867 = 255 × 3 + 102
255 = 102 × 2 + 51
102 = 51 × 2 + 0
∴ HCF = 51

3. Fundamental Theorem of Arithmetic (अंकगणित का आधारभूत प्रमेय)

Statement: हर composite number को prime numbers के product के रूप में unique way में express किया जा सकता है (order के अलावा)।

Use: HCF और LCM निकालने के लिए prime factorization method।

Example: 6 = 2 × 3, 20 = 2² × 5
HCF(6, 20) = 2¹ = 2
LCM(6, 20) = 2² × 3 × 5 = 60
Check: HCF × LCM = 2 × 60 = 120 = 6 × 20 ✓

4. Irrational Numbers (अपरिमेय संख्याएँ)

जो संख्या p/q (where p, q integers और q ≠ 0) के form में express नहीं हो सकती। जैसे √2, √3, √5, π।

Proof by Contradiction — √2 is Irrational: मान लो √2 rational है, तो √2 = p/q (जहाँ p, q coprime)। Square करने पर 2q² = p²। तो p² even है, यानी p even है। Let p = 2m। तब 2q² = 4m², यानी q² = 2m², तो q² even, q भी even। But तब p और q दोनों में 2 common factor — coprime मान के against. Contradiction। ∴ √2 irrational।

5. Decimal Expansion of Rational Numbers

Terminating decimal (सांत दशमलव): अगर denominator q का prime factorization सिर्फ 2 और/या 5 हो, जैसे 3/8 = 0.375
Non-terminating recurring (अनवसायी आवर्ती): अगर denominator में 2, 5 के अलावा prime factor हो, जैसे 1/3 = 0.333…

Chapter 1 NCERT Exercises — Solutions Summary

Exercise	Topic	Questions
1.1	Euclid’s Division Algorithm	5 questions (HCF निकालना)
1.2	Fundamental Theorem of Arithmetic	7 questions (Prime factorization, HCF, LCM)
1.3	Irrational Numbers	3 questions (proof)
1.4	Decimal Expansions	3 questions (terminating vs recurring)

Important Exam Questions (BSEB Class 10 Math Ch 1)

Prove that √3 is irrational (often-repeated)
Find HCF और LCM of 96 and 404 using prime factorization
Express 429 as product of prime factors
Is 7 × 11 × 13 + 13 a composite number? Justify
Without actual division, state if 13/3125 will have terminating or non-terminating decimal

Frequently Asked Questions

Q1. Real Numbers और Rational Numbers में क्या अंतर है?

Real numbers में rational + irrational दोनों शामिल हैं। Rational वो हैं जो p/q form में लिख सकते हैं। Irrational वो जो नहीं लिख सकते (जैसे √2, π)। सभी rational, real हैं — पर सभी real, rational नहीं।

Q2. HCF × LCM formula क्या है?

दो numbers a और b के लिए: HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b। यह formula सिर्फ 2 numbers के लिए valid है — 3 या ज्यादा के लिए direct applicable नहीं।

Q3. Chapter 1 से board exam में कितने marks के question आते हैं?

BSEB Class 10 Math में Chapter 1 से generally 6-8 marks के question आते हैं — 1 objective (1 mark), 1 short answer (2-3 marks), और 1 long answer / proof (3-5 marks)।