BSEB Class 10 Math Chapter 2 बहुपद (Polynomials) Bihar Board कक्षा 10 गणित का दूसरा महत्वपूर्ण अध्याय है। इस अध्याय में बहुपद की परिभाषा, शून्यक, गुणनखंडन, और विभाजन एल्गोरिथ्म को विस्तार से समझाया गया है। यहाँ BSEB परीक्षा 2026-27 के लिए पूरे अध्याय के हल हिंदी में दिए गए हैं।
बहुपद क्या है? (Definition of Polynomial)
एक चर x में बहुपद, x की विभिन्न घातों वाले पदों का एक व्यंजक है जहाँ घातांक पूर्ण संख्या होती है। सामान्य रूप: p(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀ (जहाँ aₙ ≠ 0)
बहुपद के प्रकार (घात के आधार पर)
- रैखिक बहुपद (Linear): घात 1 — उदाहरण: 2x + 3
- द्विघात बहुपद (Quadratic): घात 2 — उदाहरण: x² + 5x + 6
- त्रिघात बहुपद (Cubic): घात 3 — उदाहरण: x³ – 2x² + x – 1
बहुपद के शून्यक (Zeroes of a Polynomial)
वह मान जिसके लिए बहुपद p(x) का मान शून्य हो जाए, उसे बहुपद का शून्यक कहते हैं। ज्यामितीय रूप से, शून्यक वे बिंदु हैं जहाँ बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को काटता है।
महत्वपूर्ण बिंदु:
- रैखिक बहुपद का अधिकतम 1 शून्यक होता है
- द्विघात बहुपद के अधिकतम 2 शून्यक होते हैं
- त्रिघात बहुपद के अधिकतम 3 शून्यक होते हैं
शून्यकों और गुणांकों में संबंध
द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यक α और β हों, तो:
- शून्यकों का योग: α + β = -b/a
- शून्यकों का गुणनफल: α × β = c/a
त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d के शून्यक α, β, γ हों, तो:
- α + β + γ = -b/a
- αβ + βγ + γα = c/a
- α × β × γ = -d/a
हल किए गए उदाहरण (Solved Examples)
उदाहरण 1: शून्यक ज्ञात करें — p(x) = x² – 5x + 6
हल: x² – 5x + 6 = 0
x² – 3x – 2x + 6 = 0
x(x – 3) – 2(x – 3) = 0
(x – 2)(x – 3) = 0
x = 2 या x = 3
शून्यक: 2 और 3
सत्यापन: शून्यकों का योग = 2 + 3 = 5 = -(-5)/1 = -b/a ✓
शून्यकों का गुणनफल = 2 × 3 = 6 = 6/1 = c/a ✓
उदाहरण 2: शून्यक ज्ञात करें — p(x) = 2x² + 7x + 3
हल: 2x² + 7x + 3 = 0
2x² + 6x + x + 3 = 0
2x(x + 3) + 1(x + 3) = 0
(2x + 1)(x + 3) = 0
x = -1/2 या x = -3
शून्यक: -1/2 और -3
बहुपदों का विभाजन एल्गोरिथ्म
यदि p(x) और g(x) कोई दो बहुपद हैं जहाँ g(x) ≠ 0, तो बहुपद q(x) और r(x) इस प्रकार होंगे कि: p(x) = g(x) × q(x) + r(x) जहाँ r(x) = 0 या r(x) की घात < g(x) की घात। यही विभाजन एल्गोरिथ्म है।
परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण प्रश्न
- बहुपद x² – 3x – 10 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध सत्यापित कीजिए।
- एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग 4 और गुणनफल 3 हो।
- विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3 को g(x) = x² – 2 से भाग दीजिए।
- ग्राफ की सहायता से बहुपद x² – 4x + 3 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
FAQ — अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
Q1. बहुपद की घात क्या होती है?
बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात को बहुपद की घात कहते हैं। जैसे 3x⁴ + 2x² + 1 की घात 4 है।
Q2. शून्यक और मूल में क्या अंतर है?
बहुपद p(x) के संदर्भ में ‘शून्यक’ और समीकरण p(x) = 0 के संदर्भ में ‘मूल’ कहा जाता है — दोनों का अर्थ समान है।
Q3. क्या हर बहुपद के शून्यक होते हैं?
शून्येतर अचर बहुपद (जैसे p(x) = 5) का कोई शून्यक नहीं होता क्योंकि इसका ग्राफ x-अक्ष को नहीं काटता।
Q4. द्विघात बहुपद से शून्यक कैसे निकालें?
गुणनखंड विधि (Factorization) या श्रीधराचार्य सूत्र x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a का उपयोग करके शून्यक निकाले जा सकते हैं।
Q5. विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग कहाँ होता है?
विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग बहुपद के शेष शून्यक ज्ञात करने और बहुपदों के HCF निकालने में किया जाता है।